M02W3.2_Basic Statistic

• I. Discrete Random Variables
• II. Mathematical Expectations
  • 1. Mean
  • 2. Variance (Phương sai)
    • Công thức
    • Chứng minh
    • Ví dụ
• III. Covariance & Correlation
  • 1. Covariance
    • Công thức
    • Chứng minh
    • Ví dụ
  • 2. Correlation
    • Ví dụ

I. Discrete Random Variables

II. Mathematical Expectations

1. Mean

$\mu =\mathbb{E}[X]$ Kỳ vọng là giá trị trung bình theo xác suất của X.

2. Variance (Phương sai)

Công thức

Phương sai là khoảng cách bình phương trung bình có trọng số từ giá trị trung bình của X: $Var(X)=\mathbb{E}\left[(X-\mu {)}^2\right]={\sum }_k(x_k-\mu {)}^{2}p(x_k)=\mathbb{E}\left[X^2\right]-{\mu }^2$ Hiểu nôm na là → Phản ánh mức độ phân tán của X quanh giá trị trung bình. Giải thích:

• $\mathrm{Var}(X)$ là phương sai của biến ngẫu nhiên $X$.
• $\mu =\mathbb{E}[X]$ là kỳ vọng (mean, trung bình) của $X$.
• $p(x_k)$ là xác suất để $X=x_k$.
• ${\sum }_k(x_k-\mu {)}^{2}p(x_k)$ là tổng bình phương khoảng cách đến trung bình, có trọng số là xác suất của từng giá trị.
• $\mathbb{E}[X^2]$ là kỳ vọng của $X^2$, tức là trung bình của bình phương các giá trị.
• Công thức cuối cùng $\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-{\mu }^2$ cho phép bạn tính phương sai nhanh hơn, nhất là khi có sẵn bảng phân phối.

Chứng minh

Chứng minh $Var(X)=\mathbb{E}\left[(X-\mu {)}^2\right]={\sum }_k(x_k-\mu {)}^{2}p(x_k)$ Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có thể nhận các giá trị $x_1,x_2,...,x_k,...$ với xác suất tương ứng $p(x_1),p(x_2),...,p(x_k),...$ Ý nghĩa của ${\sum }_k(x_k-\mu {)}^{2}p(x_k)$:

• $(x_k-\mu {)}^2$ là bình phương khoảng cách từ giá trị $x_k$ tới trung bình (mean) $\mu$.
• $p(x_k)$ là xác suất xảy ra của giá trị đó. Như vậy, ta đang lấy trung bình có trọng số (weighted average) của bình phương khoảng cách so với mean, mà trọng số chính là xác suất xuất hiện của từng giá trị. Nói cách khác:
• Nếu một giá trị xuất hiện nhiều (xác suất lớn), nó sẽ “đóng góp” nhiều hơn vào phương sai.
• Nếu xuất hiện ít (xác suất nhỏ), đóng góp ít hơn. Đây là cách định nghĩa kỳ vọng trong xác suất: $⁍$ Khi chọn $g(x_k)=(x_k-\mu {)}^2$ ta thu được chính là phương sai: $\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[(X-\mu {)}^2]={\sum }_k(x_k-\mu {)}^{2}p(x_k)$ Tóm lại: ${\sum }_k(x_k-\mu {)}^{2}p(x_k)$ là cách tổng quát để đo độ phân tán trung bình của các giá trị quanh mean, có xét đến xác suất của từng giá trị đó.

Chứng minh cho công thức phương sai dạng: $\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[(X-\mu {)}^2]=\mathbb{E}[X^2]-(\mathbb{E}[X]{)}^2$ Bước 1. Viết lại định nghĩa phương sai: $\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[(X-\mu {)}^2]$ Với $\mu =\mathbb{E}[X]$ Bước 2. Khai triển bình phương: $(X-\mu {)}^2=X^2-2X\mu +{\mu }^2$ Bước 3. Lấy kỳ vọng hai vế: $\mathbb{E}[(X-\mu {)}^2]=\mathbb{E}[X^2-2X\mu +{\mu }^2]$ Bước 4. Áp dụng tính chất tuyến tính của kỳ vọng: $=\mathbb{E}[X^2]-2\mathbb{E}[X]\mu +\mathbb{E}[{\mu }^2]$ Lưu ý rằng $\mu$ là hằng số (không phải biến ngẫu nhiên), nên:

• $\mathbb{E}[X]=\mu$
• $\mathbb{E}[{\mu }^2]={\mu }^2$ Do đó: $=\mathbb{E}[X^2]-2\mu \mu +{\mu }^2$ $=\mathbb{E}[X^2]-2{\mu }^2+{\mu }^2$ $=\mathbb{E}[X^2]-{\mu }^2$ Vậy ta chứng minh được:

undefined