3. Vectors Part 2

1. Vector Sets

Một tập hợp các vector được gọi là set, ký hiệu bằng chữ in hoa nghiêng như V hoặc S.

• Ví dụ: $V=\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$.

Có thể hình dung tập vector như một “túi” chứa nhiều vector (chẳng hạn dữ liệu COVID-19 của 100 quốc gia, mỗi quốc gia là một vector ba phần tử).

• Tập vector có thể hữu hạn hoặc vô hạn. Những tập vô hạn như subspace có ý nghĩa quan trọng trong việc mô hình hóa dữ liệu thống kê.
• Ngoài ra, tập vector cũng có thể rỗng, ký hiệu $V=\{\}$, thường gặp trong chủ đề matrix spaces.

2. Linear Weighted Combination

Một linear weighted combination (tổ hợp tuyến tính có trọng số) là cách kết hợp nhiều vector bằng cách nhân mỗi vector với một hệ số (trọng số) rồi cộng chúng lại với nhau để tạo ra một vector mới.

Khái niệm cơ bản

• Công thức tổng quát: $\mathbf{w}={\lambda }_1{\mathbf{v}}_1+{\lambda }_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +{\lambda }_n{\mathbf{v}}_n$

• trong đó ${\lambda }_i$ là trọng số (weight hoặc coefficient) và ${\mathbf{v}}_i$ là các vector cùng chiều.

• Các trọng số có thể là bất kỳ số thực nào, kể cả âm hoặc 0.

• Việc trừ vector được hiểu như nhân trọng số âm: $-{\mathbf{v}}_i=(-1)\times {\mathbf{v}}_i$.

Ví dụ minh họa ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=2,{\lambda }_3=-3$ ${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}4\\ 5\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -4\end{array}\right],{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right]$ Khi đó:

$\mathbf{w}={\lambda }_1{\mathbf{v}}_1+{\lambda }_2{\mathbf{v}}_2+{\lambda }_3{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}-7\\ -4\\ -13\end{array}\right]$ Triển khai trong Python

import numpy as np
l1, l2, l3 = 1, 2, -3
v1 = np.array([4,5,1])
v2 = np.array([-4,0,-4])
v3 = np.array([1,3,2])
w = l1*v1 + l2*v2 + l3*v3
print(w)  # [-7 -4 -13]

→ Khi dùng NumPy, thao tác này rất gọn gàng và có thể mở rộng quy mô dễ dàng.

---

Ứng dụng trong thực tế

• Mô hình thống kê: Dữ liệu dự đoán là tổ hợp tuyến tính của các biến độc lập (regressors) và hệ số (coefficient).
• Giảm chiều dữ liệu (PCA): Mỗi thành phần chính (principal component) là một tổ hợp tuyến tính của các biến gốc để tối đa phương sai.
• Mạng neural nhân tạo (ANN): Mỗi tầng mạng thực hiện phép nhân ma trận – tức tổ hợp tuyến tính của đầu vào, sau đó qua hàm phi tuyến.

---

Ý nghĩa toán học Linear weighted combination là nền tảng của:

• Không gian vector (vector space)
• Khái niệm độc lập tuyến tính (linear independence)
• Không gian con (subspace)

Cùng với tích vô hướng (dot product), nó là một trong hai phép toán cơ bản mà nhiều phép tính nâng cao trong đại số tuyến tính được xây dựng dựa trên đó.

3. Linear Independence

Một tập vector được gọi là phụ thuộc tuyến tính (linearly dependent) nếu có ít nhất một vector trong tập có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại. Ngược lại, nếu không có vector nào trong tập có thể biểu diễn như vậy, tập đó là độc lập tuyến tính (linearly independent).

Ví dụ minh họa:

• Với tập $V=\{[1,3],[2,7]\}$: không thể tìm được hằng số $\lambda$ sao cho một vector là bội của vector kia → tập độc lập tuyến tính.
• Với tập $S=\{[1,3],[2,6]\}$: vector thứ hai là bội của vector thứ nhất (cụ thể $s_2=2\times s_1$) → tập phụ thuộc tuyến tính.
• Với tập $T=\{[8,-4,14,6],[4,6,0,3],[14,2,4,7],[13,2,9,8]\}$: phức tạp hơn, nhưng đây là tập phụ thuộc tuyến tính vì, ví dụ, tổng của ba vector đầu bằng hai lần vector thứ tư.

Cách xác định trong thực hành:
Để kiểm tra độc lập tuyến tính, ta tạo ma trận từ các vector, tính hạng (rank) của ma trận, rồi so sánh với số hàng hoặc số cột nhỏ hơn trong ma trận. Nếu hạng nhỏ hơn số vector, tập đó là phụ thuộc tuyến tính; nếu bằng, thì độc lập tuyến tính.

Lưu ý Tính độc lập (independence) là tính chất của cả tập vector, chứ không phải của từng vector riêng lẻ. Một vector không thể được gọi là độc lập hay phụ thuộc nếu không đặt trong một tập vector cụ thể.

The Math of Linear Independence

Independence and the Zeros Vector

4. Subspace and Span

5. Basis