1. Ôn tập đại số tuyến tính

4. Ma trận đơn vị và ma trận nghịch đảo

4.1. Ma trận đơn vị

Đường chéo chính của một ma trận là tập hợp các điểm có chỉ số hàng và cột là như nhau. Cách định nghĩa này cũng có thể được định nghĩa cho một ma trận không vuông. Cụ thể, nếu $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ thì đường chéo chính của $A$ bao gồm $\{a_{11},a_{22},\dots ,a_{pp}\}$, trong đó $p=\min \{m,n\}$.

Một ma trận đơn vị bậc $n$ là một ma trận đặc biệt trong ${\mathbb{R}}^{n\times n}$ với các phần tử trên đường chéo chính bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0. Ma trận đơn vị thường được ký hiệu là I (identity matrix). Nếu làm việc với nhiều ma trận đơn vị với bậc khác nhau, ta thường ký hiệu $I_n$ cho ma trận đơn vị bậc $n$.

$$I_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],I_4=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

Tính chất đặt biệt trong phép nhân. Nếu $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n},B\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$ và $I$ là ma trận đơn vị bậc $n$, ta có:

$$AI=A,IB=B.$$

Với mọi vector $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$, ta có: $I_n\mathbf{x}=\mathbf{x}$

4.2. Ma trận nghịch đảo

Cho một ma trận vuông $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, nếu tồn tại ma trận vuông $B\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ sao cho $AB=I_n$ thì ta nói $A$ là ma trận khả nghịch (invertible, nonsingular hoặc nondegenerate), và $B$ được gọi là ma trận nghịch đảo (reverse matrix) của $A$. Nếu không tồn tại ma trận $B$ thỏa mãn điều kiện trên, ta nói rằng ma trận $A$ là không khả nghịch (singular hoặc degenerate).

Nếu $A$ là khả nghịch, ma trận nghịch đảo của nó thường được ký hiệu là $A^{-1}$. Ta cũng có:

$$A^{-1}A=A{A}^{-1}=I$$

Ma trận nghịch đảo thường được sử dụng để giải hệ phương trình tuyến tính. Giả sử rằng $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ là một ma trận khả nghịch và một vector bất kỳ $b\in {\mathbb{R}}^n$. Khi đó, phương trình: $Ax=b$ Có nghiệm duy nhất là $x=A^{-1}b$. Thật vậy, nhân bên trái cả hai vế của phương trình với $A^{-1}$, ta có:

$$Ax=b⟺A^{-1}Ax=A^{-1}b⟺x=A^{-1}b$$

Nếu $A$ không khả nghịch, thậm chí không vuông, phương trình tuyến tính có thể không có nghiệm hoặc có vô số nghiệm.

Giả sử các ma trận vuông $A,B$ là khả nghịch, khi đó tích của chúng cũng khả nghịch:

$$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$$